苏木三少
错的不是你,而是这个世界。

递归-汉诺塔问题

汉诺塔问题

一、问题描述

有三根杆子A,B,C。A杆上有64个(N>1)穿孔圆盘,盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆: 每次只能移动一个圆盘; 大盘不能叠在小盘上面。 提示:可将圆盘临时置于B杆,也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆,但都必须遵循上述两条规则。

问:输出移动的步骤。

汉诺塔示意图如下:

二、故事由来

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

不管这个传说的可信度有多大,如果考虑一下把64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片,移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7,且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时, 假如每秒钟一次,共需多长时间呢?一个平年365天有31536000 秒,闰年366天有31622400秒,平均每年31556952秒,计算一下: 18446744073709551615秒 这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上,而地球存在至今不过45亿年,太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年,不说太阳系和银河系,至少地球上的一切生命,连同梵塔、庙宇等,都早已经灰飞烟灭。

三、解法

解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔,A塔有N块盘,目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔,再把A塔剩下的大盘移到C,最后把B塔的N-1块盘移到C。 每次移动多于一块盘时,则再次使用上述算法来移动。

Input

输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。
整数为盘子的数目,后三个字符表示三个杆子的编号。

Output

输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。
每次移动的记录为例如3:a->b 的形式,即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。
我们约定圆盘从小到大编号为1, 2, …n。即最上面那个最小的圆盘编号为1,最下面最大的圆盘编号为n。

Sample Input

3 a b c
Sample Output

1:a->c
2:a->b
1:c->b
3:a->c
1:b->a
2:b->c
1:a->c

四、汉诺塔问题手工解法(三个盘子):

 

五、c++代码实现:

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#include<iostream>
using namespace std;
void Hanoi(int n, char src,char mid,char dest,int src_n)
//将src座上的n个盘子,以mid座为中转,移动到dest座
//src座上最上方盘子编号为src_n
{
    if(n==1){//只需移动一个盘子
        cout <<src_n<<":"<<src<<"->"<<dest<<endl;
        //直接将盘子从src移动到的desk即可
        return ;//递归终止
    }
    Hanoi(n-1,src,dest,mid,src_n);//先将n-1个盘子从src移动到mid
    cout<<src_n + n - 1<<":"<<src<<"->"<<dest<<endl;
    //再将一个盘子从src移动到dest
    Hanoi(n-1,mid,src,dest,src_n);//最后将n-1给盘子从mid移动到dest
    return ;
 }

int main(){
    char a,b,c;
    int n;
    cin>>n>>a>>b>>c;//输入盘子数
    Hanoi(n,a,b,c,1);
    return  0;
}

c++代码截图:

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